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Formule e argomenti di matematica, fisica e scienze
Albert Einstein: ... la nostra conoscenza, se paragonata alla realta' e' primitiva e infantile. Eppure e' il bene piu' grande che possediamo.
... all our science, measured against reality, is primitive and childlike-and yet it is the most precious thing we have.


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Matematica : Geometria del piano

Cerchio dei nove punti (o cerchio di Feuerbach o cerchio di Eulero)

In un triangolo ABC, per i 3 punti medi dei lati oppure per i 3 piedi delle altezze oppure per i 3 punti medi dei segmenti che congiungono l'ortocentro e i vertici del triangolo, passa una medesima circonferenza (o cerchio). Questo cerchio e' chiamato cerchio dei nove punti o cerchio di Feuerbach o cerchio di Eulero.

Legenda:
A, B, C = Vertici del triangolo, HA, HB, HC = Piedi delle altezze del triangolo, O = Ortocentro del triangolo, Pm(AB), Pm(BC), Pm(CA) = Punti medi dei lati del triangolo, Pm(OA), Pm(OB), Pm(OC) = Punti medi dei segmenti che congiungono l'ortocentro O e i vertici del triangolo A, B, C.


: IMMAGINE/APPLET : VERIFICA LE FORMULE : Cerchio dei nove punti (o cerchio di Feuerbach o cerchio di Eulero)
  (ad applet avviato) Punti Mobili → A, B, C

0010599_V32|580|360|IMA=Geometria del piano, cerchio dei nove punti (o cerchio di Feuerbach o cerchio di Eulero)



ALCUNE PROPRIETA'



1. Il centro O e il raggio rf del cerchio di Feuerbach:

   1.1.  Il centro O e' allineato con l'ORTOCENTO Oc (punto di incontro delle altezze del triangolo) e il CIRCONCENTRO Cc (centro della circonferenza circoscritta al triangolo ) del triangolo ABC;

   1.2.  Il centro O e' PUNTO MEDIO del segmento OcCc;

   1.3.  Il raggio rf e' = 1/2 del raggio rc della circonferenza circoscritta al triangolo ABC


: IMMAGINE/APPLET : VERIFICA LE FORMULE : Cerchio dei nove punti (il centro e il raggio)
  (ad applet avviato) Punti Mobili → A, B, C

0010599c_V32|580|442|IMA=Geometria del piano, cerchio dei nove punti (il centro e il raggio)




   1.4.  Il centro O e' allineato con l'ORTOCENTO Oc, il CIRCONCENTRO Cc e il BARICENTRO Bc (punto di intersezione delle mediane del triangolo) quindi anche il centro O del cerchio dei nove punti giace su una stessa retta, la retta di Eulero.

______ IL CENTRO DEL CERCHIO DEI NOVE PUNTI E LA RETTA DI EULERO

Geometria piana, cerchio dei nove punti, cerchio di Feuerbach, centro del cerchio di Feuerbach, ortocentro, circocentro, baricentro, retta di Eulero





2. I punti F1, F2, F3, F4 e il triangolo F1F2F3 di Feuerbach:

   2.1.  I punti di tangenza (F1, F2, F3, F4) delle circonferenze ex-inscritte e della circonferenza inscritta al triangolo ABC, con il cerchio di Feuerbach sono chiamati punti di Feuerbach;

   2.2.  I punti di tangenza (F1, F2, F3) delle circonferenze ex-inscritte sono vertici del triangolo di Feuerbach;

______ I PUNTI E IL TRIANGOLO DI FEUERBACH

Geometria piana, cerchio dei nove punti, cerchio di Feuerbach, punti di Feuerbach, triangolo Feuerbach





3. La circonferenza circoscritta al triangolo ABC e' il cerchio di Feuerbach del triangolo A1B1C1:

   3.1.  La circonferenza circoscritta al triangolo ABC e' il cerchio di Feuerbach del triangolo che ha come vertici i centri (ex-centri) delle circonferenze ex-inscritte A1, B1, B1 (Se le bisettrici di due angoli supplementari adiacenti sono perpendicolari allora i vertici del triangolo ABC sono anche i piedi delle altezze del triangolo A1B1C1).


: IMMAGINE/APPLET : VERIFICA LE FORMULE : Cerchio di Feuerbach (Cerchio circoscritto al triangolo ABC)
  (ad applet avviato) Punti Mobili → A, B, C

0010599e_V32|580|542|IMA=Geometria del piano, cerchio di Feuerbach (cerchio circoscritto al triangolo ABC)




4. Il cerchio di Feuerbach e il triangolo ortico H1, H2, H3:

   4.1.  La circonferenza circoscritta al triangolo ortico H1, H2, H3 coincide con il cerchio dei nove punti.

______ IL CERCHIO DI FEUERBACH E IL TRIANGOLO ORTICO

Geometria piana, cerchio dei nove punti, cerchio di Feuerbach, triangolo ortico, circonferenza circoscritta al triangolo ortico



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Ultimo aggiornamento - Last update:  27/10/2018
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