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Formule e argomenti di matematica, fisica e scienze
Albert Einstein: ... la nostra conoscenza, se paragonata alla realta' e' primitiva e infantile. Eppure e' il bene piu' grande che possediamo.
... all our science, measured against reality, is primitive and childlike-and yet it is the most precious thing we have.


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Matematica : Equazioni e disequazioni

Disequazioni di secondo grado (grafico della parabola y=ax2 + bx + c)

Una equazione di secondo grado razionale intera y = ax2 + bx + c rappresenta una parabola e mediante il suo grafico possiamo risolvere le disequazioni (ax2 + bx + c > 0 → y > 0, ax2 + bx + c ≥ 0 → y ≥ 0, ax2 + bx + c < 0 → y < 0, ax2 + bx + c ≤ 0 → y ≤ 0).

Tracciamo il grafico della parabola:
1. PUNTI DI INTERSEZIONE DELLA PARABOLA CON L'ASSE x O IL VALORE DEL Δ
Determiniamo il numero dei punti di intersezione della parabola con l'asse delle x (2 punti (x1, x2), 1 punto contato 2 volte (x1=x2), nessun punto (in R)) o piu' in generale determiniamo solo il Δ (Δ = b2 - 4ac).

2. COEFFICIENTE DEL TERMINE DI SECONDO GRADO (a):
Il valore del coefficiente del termine di secondo grado determina la concavita' della parabola.

  2.1 SE a E' MAGGIORE DI ZERO (a > 0) → LA PARABOLA VOLGE LA CONCAVITA' VERSO L'ALTO

  Segue la risoluzione delle disequazioni in base alle 3 posizioni assunte dalla parabola rispetto all'asse delle x:

  IL Δ E' MAGGIORE DI ZERO (b2 - 4ac > 0)

  

Disequazioni di secondo grado, grafico della parabola, a > 0, Delta > 0

La parabola ha 2 punti di intersezione distinti (x1, x2) con l'asse x

da cui risulta che:
- y > 0 (ax2 + bx + c > 0) per ogni valore esterno all'intervello [x1, x2] cioe': y > 0 per x < x1 ∨ x > x2
- y ≥ 0 (ax2 + bx + c ≥ 0) per ogni valore dell'intervello (x1, x2) cioe': y ≥ 0 per x ≤ x1 ∨ x ≥ x2
- y < 0 (ax2 + bx + c < 0) per ogni valore interno all'intervello [x1, x2] cioe': y < 0 per x1 < x < x2
- y ≤ 0 (ax2 + bx + c ≤ 0) per ogni valore dell'intervello (x1, x2) cioe': y ≤ 0 per x1 ≤ x ≤ x2


  IL Δ E' UGUALE A ZERO (b2 - 4ac = 0)

  

Disequazioni di secondo grado, grafico della parabola, a > 0, Delta = 0

La parabola ha 2 punti di intersezione coincidenti (o un solo punto di intersezione contato 2 volte) (x1 = x2 = -b/2a) con l'asse x

da cui risulta che:
- y > 0 (ax2 + bx + c > 0) per x ≠ -b/2a
- y ≥ 0 (ax2 + bx + c ≥ 0) per qualunque x in R


  IL Δ E' MINORE DI ZERO (b2 - 4ac < 0)

   Disequazioni di secondo grado, grafico della parabola, a > 0, Delta < 0

La parabola non ha punti di intersezione con l'asse x

da cui risulta che:
per qualunque x in R la y e' > 0 (ax2 + bx + c > 0)




  2.2 SE a E' MINORE DI ZERO (a > 0) → LA PARABOLA VOLGE LA CONCAVITA' VERSO IL BASSO

  Segue la risoluzione delle disequazioni in base alle 3 posizioni assunte dalla parabola rispetto all'asse delle x:

  IL Δ E' MAGGIORE DI ZERO (b2 - 4ac > 0)

  

Disequazioni di secondo grado, grafico della parabola, a < 0, Delta > 0

La parabola ha 2 punti di intersezione distinti (x1, x2) con l'asse x

da cui risulta che:
- y > 0 (ax2 + bx + c > 0) per ogni valore interno all'intervello [x1, x2] cioe': y > 0 per x1 < x < x2
- y ≥ 0 (ax2 + bx + c ≥ 0) per ogni valore dell'intervello (x1, x2) cioe': y ≥ 0 per x1 ≤ x ≤ x2
- y < 0 (ax2 + bx + c < 0) per ogni valore esterno all'intervello [x1, x2] cioe': y < 0 per x < x1 ∨ x > x2
- y ≤ 0 (ax2 + bx + c ≤ 0) per ogni valore dell'intervello (x1, x2) cioe': y ≤ 0 per x ≤ x1 ∨ x ≥ x2


  IL Δ E' UGUALE A ZERO (b2 - 4ac = 0)

  

Disequazioni di secondo grado, grafico della parabola, a < 0, Delta = 0

La parabola ha 2 punti di intersezione coincidenti (o un solo punto di intersezione contato 2 volte) (x1 = x2 = -b/2a) con l'asse x

da cui risulta che:
- y < 0 (ax2 + bx + c < 0) per x ≠ -b/2a
- y ≤ 0 (ax2 + bx + c ≤ 0) per qualunque x in R


  IL Δ E' MINORE DI ZERO (b2 - 4ac < 0)

  

Disequazioni di secondo grado, grafico della parabola, a < 0, Delta < 0

La parabola non ha punti di intersezione con l'asse x

da cui risulta che:
per qualunque x in R la y e' < 0 (ax2 + bx + c < 0)



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