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Formule e argomenti di matematica, fisica e scienze
Albert Einstein: ... la nostra conoscenza, se paragonata alla realta' e' primitiva e infantile. Eppure e' il bene piu' grande che possediamo.
... all our science, measured against reality, is primitive and childlike-and yet it is the most precious thing we have.


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Matematica : Elementi di algebra

Proporzioni e proprieta'

Una proporzione e' una uguaglianza di due rapporti (rapporto tra numeri o rapporto tra grandezze omogenee)

si scrive:

Elementi di algebra, proporzioni, uguaglianza di rapporti

si legge:

  a sta a b come c sta a d.


si dicono:

  Termini: a, b, c, d (a:b = c:d);

  Estremi: a e d (a:b = c:d);

  Medi: b e c (a:b = c:d);

  Antecedenti: a e c (a:b = c:d);

  Conseguenti: b e d (a:b = c:d).


PROPRIETA' FONDAMENTALE

In una proporzione il prodotto dei medi e' UGUALE al prodotto degli estremi

Elementi di algebra, proporzione, prodotto dei medi uguale al prodotto degli estremi

da cui:

 ♦ Un medio e' UGUALE al prodotto degli estremi diviso l'altro medio

Elementi di algebra, proporzione, un medio uguale al prodotto degli estremi diviso l'altro medio

 ♦ Un estremo e' UGUALE al prodotto dei medi diviso l'altro estremo

Elementi di algebra, proporzione, un estremo uguale al prodotto degli medi diviso l'altro estremo


Proporzione continua
Una proporzione si chiama proporzione continua o semplicemente continua se i due medi (a:b = b:c) o i due estremi (a:b = c:a) sono uguali.


Quarto proporzionale
Dati tre numeri (a, b, c), si chiama quarto proporzionale quel numero che risulta il quarto termine di una proporzione (d) dopo a, b, c (nell'ordine dato → a:b = c:x).

Teorema dell'unicita' del quarto proporzionale
Dati tre numeri a, b, c esiste un solo numero c che e' quarto proporzionale dei numeri dati.


Terzo proporzionale
Dati due numeri (a, b), si chiama terzo proporzionale quel numero che risulta il quarto termine di una proporzione continua (a:b = b:x): il primo termine (estremo) UGUALE al primo numero (a) e il secondo e terzo termine (medi) uguale al secondo numero (b).

Medio proporzionale
Il medio proprozionale, tra due numeri (a, b) dati, e' quel numero che risulta medio di una proporzione continua (a:x = x:b) avente per estremi i numeri a e b.



PROPRIETA'

In una proporzione (a:b = c:d), se il primo numero (a) e' maggiore, uguale o minore del secondo (b) anche il terzo numero (c) e' maggiore, uguale o minore del quarto (d).

  se a>bc>d;    se a=b → c=d;   se a<bc<d;



Proprieta' del permutare (o permutando)
In una proporzione si possono cambiare di posto (permutare) i due medi e/o i due estremi.

Elementi di algebra, proporzione, proprieta' del permutare


Proprieta' dell'invertire (o invertendo)
In una proporzione si possono cambiare di posto (permutare) ogni antecedente con il suo conseguente.

Elementi di algebra, proporzione, proprieta' dell' invertire


Proprieta' del comporre (o componendo)
In una proporzione la somma dei primi 2 termini sta al primo (o secondo) termine come la somma del terzo e quarto termine sta al terzo (o quarto) termine.

Elementi di algebra, proporzione, proprieta' del comporre


Proprieta' dello scomporre (o scomponendo)
In una proporzione la differenza dei primi 2 termini sta al primo (o secondo) termine come la differenza del terzo e quarto termine sta al terzo (o quarto) termine.

se ogni antecedente e' maggiore del conseguente (a>b → c>d):

Elementi di algebra, proporzione, proprieta' dello scomporre, antecedente maggiore del conseguente


se ogni antecedente e' minore del conseguente (a<b → c<d):

Elementi di algebra, proporzione, proprieta' dello scomporre, antecedente minore del conseguente


Proprieta' del comporre e dello scomporre (o componendo e scomponendo)
In una proporzione la somma dei primi 2 termini sta alla loro differenza come la somma degli ultimi due termini sta alla loro differenza.

se ogni antecedente e' maggiore del conseguente (a>b → c>d):
Elementi di algebra, proporzione, proprieta' del comporre e dello scomporre, antecedente minore del conseguente


se ogni antecedente e' minore del conseguente (a<b → c<d):

Elementi di algebra, proporzione, proprieta' del comporre dello scomporre, antecedente minore del conseguente


Proprieta' del comporre gli antecedenti e i conseguenti (catena di rapporti)
In una uguaglianza di piu' rapporti (o catena di rapporti), la somma degli antecedenti sta' alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente.

Elementi di algebra, proporzione, uguaglianza di piu' rapporti, catena di rapporti

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Ultimo aggiornamento - Last update:  27/10/2018
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