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Formule e argomenti di matematica, fisica e scienze
Albert Einstein: ... la nostra conoscenza, se paragonata alla realta' e' primitiva e infantile. Eppure e' il bene piu' grande che possediamo.
... all our science, measured against reality, is primitive and childlike-and yet it is the most precious thing we have.


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Matematica : Elementi di algebra

Potenza ennesima di un binomio - Triangolo di Tartaglia (o di Pascal)

Il triangolo di Tartaglia o triangolo di Pascal e' una costruzione per determinare i coefficienti (detti: coefficienti binomiali) dello sviluppo della potenza n-esima (con n numero intero positivo Ζ+) di un binomio ( (A + B)n ).

C O S T R U Z I O N E:

-Nella prima riga, relativa alla potenza ad esponente 0, e' presente il numero 1

-Ogni altra riga (relativa ad un esponente: esponente = all'esponente della riga precedente + 1) inizia con 1 e finisce con 1 (in figura: sono rappresentate con lo sfondo di colore grigio)

-Ogni altro numero, presente nelle righe, e' uguale alla somma del numero che sta immediatamente sopra e di quello che lo precede.



Algebra, Costruzione triangolo di Tartaglia, Costruzione triangolo di Pascal




Riportiamo di seguito la costruzione, del triangolo di Tartaglia (o di Pascal), fino alla quindicesima potenza:

0 1














1 1 1













2 1 2 1












3 1 3 3 1











4 1 4 6 4 1










5 1 5 10 10 5 1









6 1 6 15 20 15 6 1








7 1 7 21 35 35 21 7 1







8 1 8 28 56 70 56 28 8 1






9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1





10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1




11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1



12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1


13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1


•  Sviluppo della potenza n-esima di un binomio

  (A+B)n = (?1)AnB0 + (?2)An-1B1 . . . (?n)A1Bn-1 + (?n+1) A0Bn

  con:
    -l'esponente del primo termine (A) decrescente da n → 0;
    -l'esponente del secondo termine (B) crescente da 0 → n.
    -(?i) il valore nel triangolo, alla riga n e colonna i.


•  Esempio 1 - Sviluppiamo (A + B)7:

(A+B)7 = (?1)A7B0 + (?2)A6B1 + (?3)A5B2 + (?4)A4B3 + (?5)A3B4 + (?6)A2B5 + (?7)A1B6 + (?8)A0B7

Sostituiamo (?i) con i valori (coefficienti) presenti nella riga, relativa all'esponente 7:

(A+B)7 = (1)A7B0 + (7)A6B1 + (21)A5B2+ (35)A4B3 + (35)A3B4 + (21)A2B5 + (7)A1B6 + (1)A0B7   

(A+B)7 = A7 + 7A6B + 21A5B2+ 35A4B3 + 35A3B4 + 21A2B5 + 7A1B6 + B7


•  Esempio 2 - Sviluppiamo (A + B)5:

(A+B)5 = (?1)A5B0 + (?2)A4B1 + (?3)A3B2+ (?4)A2B3 + (?5)A1B4 + (?6)A0B5

Sostituiamo (?i) con i valori (coefficienti) presenti nella riga, relativa all'esponente 5:

(A+B)5 = (1)A5B0 + (5)A4B1 + (10)A3B2+ (10)A2B3 + (5)A1B4 + (1)A0B5  

(A+B)5 = A5 + 5A4B + 10A3B2+ 10A2B3 + 5A1B4 + B5





Le diagonali del triangolo di Tartaglia (o triangolo di Pascal)


• Numeri Uno - La 1a diagonale

Nella 1a diagonale, del triangolo di Tartaglia (o di Pascal), troviamo i Numeri Uno.

Nell'immagine che segue, sono rappresentati i primi 15 numeri uno nel triangolo di Tartaglia.


Algebra, Numeri uno nel triangolo di Tartaglia, Numeri uno nel triangolo di Pascal




• Numeri Naturali - La 2a diagonale

Nella 2a diagonale, del triangolo di Tartaglia (o di Pascal), troviamo tutti i Numeri Naturali.

Nell'immagine che segue, sono rappresentati i primi 15 numeri naturali nel triangolo di Tartaglia.


Algebra, Numeri naturali nel triangolo di Tartaglia, Numeri naturali nel triangolo di Pascal




• Numeri triangolari ed i Numeri quadrati (o quadrati perfetti) - La 3a diagonale

Nella 3a diagonale, del triangolo di Tartaglia (o di Pascal), troviamo tutti i Numeri Triangolari [Simboli, lettere, costanti, ..., Numeri triangolari  -  (locale-Formule)].

Nell'immagine che segue, sono rappresentati i primi 14 numeri triangolari nel triangolo di Tartaglia.


Algebra, Numeri triangolari nel triangolo di Tartaglia, Numeri triangolari nel triangolo di Pascal



La somma dei Numeri Triangolari consecutivi presi due a due, e' uguale ad un Numero Quadrato (o quadrato perfetto).
[Simboli, lettere, costanti, ..., Numeri quadrati (o quadrati perfetti)  -  (locale-Formule)].

Nell'immagine che segue, sono rappresentati i primi 13 quadrati perfetti.


Algebra, Numeri quadrati o quadrati perfetti nel triangolo di Tartaglia, Numeri quadrati o quadrati perfetti nel triangolo di Pascal



• Numeri tetraedrici - La 4a diagonale

Nella 4a diagonale, del triangolo di Tartaglia (o di Pascal), troviamo tutti i Numeri Tetraedrici [Simboli, lettere, costanti, ..., Numeri tetraedrici  -  (locale-Formule)].

Nell'immagine che segue, sono rappresentati i primi 13 numeri tetraedrici nel triangolo di Tartaglia.


Algebra, Numeri tetraedrici nel triangolo di Tartaglia, Numeri tetraedrici nel triangolo di Pascal



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Ultimo aggiornamento - Last update:  27/10/2018
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