Matematica : Equazioni e disequazioni

Equazioni di secondo grado (ad una incognita)

Si chiama equazione di secondo grado un polinomio razionale intero di secondo grado, ad una sola incognita, uguagliato a zero.

Forma tipica (o forma canonica o equazione generale della parabola) con a ≠ 0:

  


a, b, c si chiamano coefficienti dell'equazione e piu' precisamente:

- a → primo coefficiente o coefficente del termine di secondo grado;

- b → secondo coefficiente o coefficente del termine di primo grado;

- c → terzo coefficiente o coefficente del termine di grado nullo detto termine noto.

Equazione di secondo grado COMPLETA

Un equazione di secondo grado si dice COMPLETA se b e c sono ≠ 0 (a ovviamente ≠ 0 come presupposto fondamentale).


METODI E FORMULE GENERALI RISOLUTIVE

_____ .1. Formula generale

  

a memoria ...
x e' uguale: al secondo coefficiente cambiato di segno (-b) piu'-meno (±) radice quadrata del secondo coefficiente alla seconda (b²) meno 4 volte il primo coefficiente (a) per il terzo (c) tutto fratto 2 volte il primo coefficiente (2a).


_____ .2. Prima formula ridotta
Se il secondo coefficiente (b) e' pari tale che esiste un numero intero k = b/2:

  

a memoria ...
x e' uguale: al secondo coefficiente diviso 2 cambiato di segno (-b/2) piu'-meno (±) radice quadrata del secondo coefficiente diviso 2 alla seconda ((b/2)²) meno il primo coefficiente (a) per il terzo (c) tutto fratto il primo coefficiente (a).


_____ .3. Seconda formula ridotta
Se il secondo coefficiente (b) e' pari tale che esiste un numero intero k = b/2 e il primo coefficiente (a) = 1:

  

a memoria ...
x e' uguale: al secondo coefficiente diviso 2 cambiato di segno (-b/2) piu'-meno (±) radice quadrata del secondo coefficiente diviso 2 alla seconda ((b/2)²) meno il terzo coefficiente(c).


Una equazione COMPLETA puo' ammettere:
1.  Se il radicando^(*) e' positivo: Due soluzioni (o radici) reali e distinte;
2.  Se il radicando^(*) e' nullo: Due soluzioni (o radici) reali coincidenti;
3.  Se il radicando^(*) e' negativo: Nessuna soluzione (o radice) nell'insieme dei numeri reali o soluzioni (o radici) complesse (o immaginarie).


radicando^(*): Il radicando e' chiamato DISCRIMINANTE e si indica con la lettera greca Δ (delta)

Equazione di secondo grado SPURIA o IMPURA

Un equazione di secondo grado si chiama equazione incompleta binomia di primo tipo (piu' comunemente detta equazione SPURIA o IMPURA) se il terzo coefficente o termine noto c = 0:

  

METODI E FORMULE GENERALI RISOLUTIVE
Possiamo sempre utilizzare le formule risolutive di un'equazione di secondo grado COMPLETA ma, solitamente, in un equazione spuria o impura si procede cosi':

- Trasformiamo l'equazione mettento in evidenza l'incognita x:

  x(ax + b) = 0;

- Per mezzo della legge di annullamento di un prodotto, possiamo scrivere:

  x₁ = 0;

  ax + b = 0  →  x₂ = -b/a;

Una equazione SPURIA o IMPURA ammette sempre 2 soluzioni (o radici) reali e distinte (x₁, x₂) di cui una nulla (x₁).

Equazione di secondo grado PURA

Un equazione di secondo grado si chiama equazione incompleta binomia di secondo tipo (piu' comunemente detta equazione PURA) se il secondo coefficente o termine noto b = 0:

  

METODI E FORMULE GENERALI RISOLUTIVE
Possiamo sempre utilizzare le formule risolutive di un'equazione di secondo grado COMPLETA ma, solitamente, in un equazione pura procede cosi':

- Trasformiamo l'equazione lasciando al primo membro l'incognita x e spostando il resto al secondo menbro:

  x² = -c/a;  →  x₁ = +Radice(-c/a), x₂ = -Radice(-c/a);

Una equazione PURA puo' ammettere:
1.  Se il radicando e' positivo: Due soluzioni (o radici) reali e opposte;
2.  Se il radicando e' negativo: Nessuna soluzione (o radice) nell'insieme dei numeri reali o soluzioni (o radici) complesse (o immaginarie).

Equazione di secondo grado INCOMPLETA

Un equazione di secondo grado si chiama equazione incompleta monomia se i coefficenti b e c sono = 0:

  

METODI E FORMULE GENERALI RISOLUTIVE
Possiamo sempre utilizzare le formule risolutive di un'equazione di secondo grado COMPLETA ma, solitamente, in un equazione incompleta si procede cosi':

- Per mezzo della legge di annullamento di un prodotto, possiamo scrivere:

  ax² = 0;  →  x₁ = 0, x₂ = 0;

Una equazione INCOMPLETA ammette sempre 2 soluzioni (o radici) reali coincidenti e nulle.