Matematica : Elementi di algebra

Potenza ennesima di un binomio - Triangolo di Tartaglia (o di Pascal)

Il triangolo di Tartaglia o triangolo di Pascal e' una costruzione per determinare i coefficienti (detti: coefficienti binomiali) dello sviluppo della potenza n-esima (con n numero intero positivo Ζ⁺) di un binomio ( (A + B)ⁿ ).

C O S T R U Z I O N E:

-Nella prima riga, relativa alla potenza ad esponente 0, e' presente il numero 1

-Ogni altra riga (relativa ad un esponente: esponente = all'esponente della riga precedente + 1) inizia con 1 e finisce con 1 (in figura: sono rappresentate con lo sfondo di colore grigio)

-Ogni altro numero, presente nelle righe, e' uguale alla somma del numero che sta immediatamente sopra e di quello che lo precede.

Riportiamo di seguito la costruzione, del triangolo di Tartaglia (o di Pascal), fino alla quindicesima potenza:

0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
11	1	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1
12	1	12	66	220	495	792	924	792	495	220	66	12	1
13	1	13	78	286	715	1287	1716	1716	1287	715	286	78	13	1
14	1	14	91	364	1001	2002	3003	3432	3003	2002	1001	364	91	14	1
15	1	15	105	455	1365	3003	5005	6435	6435	5005	3003	1365	455	105	15	1

•  Sviluppo della potenza n-esima di un binomio

  (A+B)ⁿ = (?₁)AⁿB⁰ + (?₂)A^n-1B¹ . . . (?_n)A¹B^n-1 + (?_n+1) A⁰Bⁿ

  con:
    -l'esponente del primo termine (A) decrescente da n → 0;
    -l'esponente del secondo termine (B) crescente da 0 → n.
    -(?_i) il valore nel triangolo, alla riga n e colonna i.


•  Esempio 1 - Sviluppiamo (A + B)⁷:

(A+B)⁷ = (?₁)A⁷B⁰ + (?₂)A⁶B¹ + (?₃)A⁵B² + (?₄)A⁴B³ + (?₅)A³B⁴ + (?₆)A²B⁵ + (?₇)A¹B⁶ + (?₈)A⁰B⁷

Sostituiamo (?_i) con i valori (coefficienti) presenti nella riga, relativa all'esponente 7:

(A+B)⁷ = (1)A⁷B⁰ + (7)A⁶B¹ + (21)A⁵B²+ (35)A⁴B³ + (35)A³B⁴ + (21)A²B⁵ + (7)A¹B⁶ + (1)A⁰B⁷   →

(A+B)⁷ = A⁷ + 7A⁶B + 21A⁵B²+ 35A⁴B³ + 35A³B⁴ + 21A²B⁵ + 7A¹B⁶ + B⁷


•  Esempio 2 - Sviluppiamo (A + B)⁵:

(A+B)⁵ = (?₁)A⁵B⁰ + (?₂)A⁴B¹ + (?₃)A³B²+ (?₄)A²B³ + (?₅)A¹B⁴ + (?₆)A⁰B⁵

Sostituiamo (?_i) con i valori (coefficienti) presenti nella riga, relativa all'esponente 5:

(A+B)⁵ = (1)A⁵B⁰ + (5)A⁴B¹ + (10)A³B²+ (10)A²B³ + (5)A¹B⁴ + (1)A⁰B⁵  →

(A+B)⁵ = A⁵ + 5A⁴B + 10A³B²+ 10A²B³ + 5A¹B⁴ + B⁵

Le diagonali del triangolo di Tartaglia (o triangolo di Pascal)

• Numeri Uno - La 1^a diagonale

Nella 1^a diagonale, del triangolo di Tartaglia (o di Pascal), troviamo i Numeri Uno.

Nell'immagine che segue, sono rappresentati i primi 15 numeri uno nel triangolo di Tartaglia.

• Numeri Naturali - La 2^a diagonale

Nella 2^a diagonale, del triangolo di Tartaglia (o di Pascal), troviamo tutti i Numeri Naturali.

Nell'immagine che segue, sono rappresentati i primi 15 numeri naturali nel triangolo di Tartaglia.

• Numeri triangolari ed i Numeri quadrati (o quadrati perfetti) - La 3^a diagonale

Nella 3^a diagonale, del triangolo di Tartaglia (o di Pascal), troviamo tutti i Numeri Triangolari [Simboli, lettere, costanti, ..., Numeri triangolari  -  (locale-Formule)].

Nell'immagine che segue, sono rappresentati i primi 14 numeri triangolari nel triangolo di Tartaglia.

La somma dei Numeri Triangolari consecutivi presi due a due, e' uguale ad un Numero Quadrato (o quadrato perfetto).
[Simboli, lettere, costanti, ..., Numeri quadrati (o quadrati perfetti)  -  (locale-Formule)].

Nell'immagine che segue, sono rappresentati i primi 13 quadrati perfetti.

• Numeri tetraedrici - La 4^a diagonale

Nella 4^a diagonale, del triangolo di Tartaglia (o di Pascal), troviamo tutti i Numeri Tetraedrici [Simboli, lettere, costanti, ..., Numeri tetraedrici  -  (locale-Formule)].

Nell'immagine che segue, sono rappresentati i primi 13 numeri tetraedrici nel triangolo di Tartaglia.